Логарифмы
ЕГЭ база, ЕГЭ профильФункции и анализ
Определение, свойства, логарифмические и показательные уравнения.
Определение
$\log_a b = c \iff a^c = b$ (при $a > 0$, $a \ne 1$, $b > 0$). Основное тождество: $a^{\log_a b} = b$.
Свойства
| Свойство | Пример |
|---|---|
| $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ | $\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 36 = 2$ |
| $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ | $\log_3 54 - \log_3 2 = 3$ |
| $\log_a x^k = k \log_a x$ | $\log_2 8^5 = 15$ |
| $\log_{a^k} x = \frac{1}{k} \log_a x$ | $\log_{9} 3 = \frac{1}{2}$ |
| $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ | переход к новому основанию |
- $\log_a 1 = 0$, $\log_a a = 1$, $\lg x = \log_{10} x$, $\ln x = \log_e x$.
Уравнения
- Показательное: приводим к одному основанию, $a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$. Например, $2^{x-1} = 16 \Rightarrow x - 1 = 4$.
- Логарифмическое: $\log_a f(x) = \log_a g(x) \iff f(x) = g(x) > 0$.
- Простейшее: $\log_a f(x) = c \Rightarrow f(x) = a^c$.
Важно. Обязательно проверяйте ОДЗ: выражение под логарифмом строго положительно, основание положительно и не равно 1.