Стереометрия: тела вращения
ЕГЭ база, ЕГЭ профильСтереометрия
Цилиндр, конус, шар: объёмы и площади поверхности.
| Тело | Объём | Площадь поверхности |
|---|---|---|
| Цилиндр ($r$, $h$) | $V = \pi r^2 h$ | $S_\text{бок} = 2\pi r h$, $S_\text{полн} = 2\pi r(r + h)$ |
| Конус ($r$, $h$, образующая $l$) | $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ | $S_\text{бок} = \pi r l$, $S_\text{полн} = \pi r(r + l)$ |
| Шар (сфера) радиуса $R$ | $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ | $S = 4\pi R^2$ |
Конус
Высота, радиус основания и образующая образуют прямоугольный треугольник: $l^2 = r^2 + h^2$.
Ответ «делённый на π»
Если просят $\frac{V}{\pi}$, вычисляйте всё, кроме $\pi$: для цилиндра $r = 3$, $h = 5$ ответ $\frac{V}{\pi} = 9 \cdot 5 = 45$.
Комбинации тел
- Шар, вписанный в цилиндр: $h = 2R$, радиус цилиндра равен $R$.
- Конус и цилиндр с общими основанием и высотой: $V_\text{конуса} = \frac{1}{3} V_\text{цилиндра}$.
Важно. Если радиус увеличить в 2 раза, объём цилиндра вырастет в 4 раза, а объём шара — в 8 раз.