Стереометрия: многогранники
ЕГЭ база, ЕГЭ профильСтереометрия
Куб, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида: объёмы, площади поверхности, диагонали.
| Тело | Объём | Площадь поверхности |
|---|---|---|
| Куб с ребром $a$ | $V = a^3$ | $S = 6a^2$ |
| Прямоугольный параллелепипед $a \times b \times c$ | $V = abc$ | $S = 2(ab + bc + ac)$ |
| Прямая призма | $V = S_\text{осн} \cdot h$ | $S = 2S_\text{осн} + P_\text{осн} \cdot h$ |
| Пирамида | $V = \frac{1}{3} S_\text{осн} \cdot h$ | $S = S_\text{осн} + S_\text{бок}$ |
Диагонали
- Диагональ прямоугольного параллелепипеда: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. Диагональ куба: $d = a\sqrt3$.
Подобие тел
Если все линейные размеры увеличить в $k$ раз, площадь поверхности увеличится в $k^2$ раз, объём — в $k^3$ раз.
Составные тела
Объём многогранника, составленного из параллелепипедов, — сумма объёмов частей (или объём большого минус «вырезанный»). Площадь поверхности считайте по граням, глядя с каждой стороны.
Правильная пирамида
В основании — правильный многоугольник, вершина проецируется в его центр. Апофема — высота боковой грани. $S_\text{бок} = \frac{1}{2} P_\text{осн} \cdot \text{апофема}$.
Важно. Уровень жидкости: объём сохраняется, $S_1 h_1 = S_2 h_2$.