Векторы и координаты

Координаты

Вектор $\overrightarrow{AB}$ с началом $A(x_1; y_1)$ и концом $B(x_2; y_2)$: $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1;\ y_2 - y_1)$. На клетчатой бумаге считаем клетки от начала до конца: вправо и вверх — плюс, влево и вниз — минус.

Действия

• Сумма и разность — покоординатно: $\vec a \pm \vec b = (a_1 \pm b_1;\ a_2 \pm b_2)$; $k\vec a = (ka_1;\ ka_2)$.
• Длина: $|\vec a| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$.
• Скалярное произведение: $\vec a \cdot \vec b = a_1 b_1 + a_2 b_2 = |\vec a||\vec b|\cos\varphi$.
• $\vec a \perp \vec b \iff \vec a \cdot \vec b = 0$. Угол: $\cos\varphi = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|}$.
• $\vec a \cdot \vec a = |\vec a|^2$, поэтому $(\vec a + \vec b)(\vec a - \vec b) = |\vec a|^2 - |\vec b|^2$.

Координаты точек

• Середина отрезка: $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$.
• Расстояние между точками: $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
• Уравнение окружности: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.