§2. Аксиомы стереометрии

Базовый уровеньВведение. Аксиомы стереометрии

Три аксиомы о точках, прямых и плоскостях в пространстве.

Зачем нужны аксиомы

Свойства основных фигур не доказываются, а принимаются за исходные — это аксиомы. Все теоремы стереометрии выводятся из них и из теорем планиметрии (планиметрия выполняется в каждой плоскости пространства).

Аксиома 1 (о плоскости через три точки)

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Плоскость \alpha = (ABC) определяется тремя точками — Плоскость $\alpha = (ABC)$ определяется тремя точками

Поэтому плоскость обозначают и тремя точками: $(ABC)$. Отсюда — устойчивость табуретки на трёх ножках.

Аксиома 2 (о прямой в плоскости)

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Прямая и плоскость либо не имеют общих точек, либо имеют ровно одну, либо прямая целиком лежит в плоскости.

Аксиома 3 (о пересечении плоскостей)

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Две различные плоскости либо не пересекаются, либо пересекаются по прямой.

Важно. Аксиома 3 — главный инструмент при построении сечений: чтобы найти линию пересечения двух плоскостей, достаточно найти две их общие точки.

Вопросы для самопроверки

Сформулируйте аксиомы стереометрии.
Почему стол на четырёх ножках может качаться, а на трёх — нет?
Могут ли две плоскости иметь ровно одну общую точку?