§9. Построение сечений

Базовый уровеньГлава 1. Параллельность прямых и плоскостей

Метод следов и построение сечений куба, тетраэдра и пирамиды.

Что такое сечение

Секущая плоскость многогранника — плоскость, по обе стороны от которой есть его точки. Многоугольник, по которому она пересекает грани, — сечение.

Правила построения

Соединять можно только точки, лежащие в одной грани.
Если секущая плоскость пересекает две параллельные грани, то отрезки сечения на них параллельны (свойство параллельных плоскостей).
Метод следов: продолжаем сторону сечения до пересечения с прямой, содержащей ребро основания; полученная точка лежит и в секущей плоскости, и в плоскости основания — через неё проводим след на основании.

Сечение куба плоскостью BMD_1: M и N — середины AA_1 и CC_1, сечение — ромб BND_1M — Сечение куба плоскостью $BMD_1$: $M$ и $N$ — середины $AA_1$ и $CC_1$, сечение — ромб $BND_1M$

Какими бывают сечения

у тетраэдра — треугольники и четырёхугольники;
у куба и параллелепипеда — от треугольника до шестиугольника (у шести граней не больше шести сторон сечения).

Важно. Сечение куба никогда не бывает правильным пятиугольником и семиугольником. Правильный шестиугольник получается, если провести плоскость через середины шести рёбер.

Вопросы для самопроверки

Какие точки можно соединять при построении сечения?
В чём состоит метод следов?
Какое наибольшее число сторон может иметь сечение тетраэдра? Куба?