§11. Перпендикуляр и наклонные. Теорема о трёх перпендикулярах
Базовый уровеньГлава 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей
Расстояние от точки до плоскости, проекция наклонной, теорема о трёх перпендикулярах.
Перпендикуляр и наклонная
Пусть $AH \perp \alpha$, $H \in \alpha$. Отрезок $AH$ — перпендикуляр к плоскости, $H$ — его основание. Для любой другой точки $M \in \alpha$ отрезок $AM$ — наклонная, а $HM$ — её проекция на плоскость.
- Перпендикуляр короче любой наклонной из той же точки.
- Длина перпендикуляра — расстояние от точки до плоскости.
- Из одной точки: равные наклонные имеют равные проекции; большей наклонной соответствует большая проекция.
Теорема о трёх перпендикулярах
Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции, перпендикулярна и самой наклонной. Верна и обратная теорема.
$$AM^2 = AH^2 + HM^2$$
Важно. Теорема о трёх перпендикулярах помогает найти расстояние от точки до прямой: достаточно опустить перпендикуляр из основания $H$ на эту прямую.
Вопросы для самопроверки
- Что называют расстоянием от точки до плоскости?
- Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах и обратную ей.