§16. Расстояния в пространстве
Углублённый уровеньГлава 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей
Расстояния между точкой, прямой и плоскостью, между скрещивающимися прямыми.
Какие расстояния бывают
- от точки до прямой — длина перпендикуляра к прямой;
- от точки до плоскости — длина перпендикуляра к плоскости;
- между параллельными прямой и плоскостью, между параллельными плоскостями — расстояние от любой точки одной фигуры до другой;
- между скрещивающимися прямыми — длина их общего перпендикуляра; оно равно расстоянию от любой точки одной прямой до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой.
Методы
- Геометрический: строим перпендикуляр (часто по теореме о трёх перпендикулярах) и считаем из треугольника.
- Метод объёмов: расстояние от вершины тетраэдра до плоскости противоположной грани $h = \dfrac{3V}{S_{\text{грани}}}$.
- Координатный: расстояние от точки $M(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости $ax + by + cz + d = 0$
$$\rho = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$
Вопросы для самопроверки
- Что такое общий перпендикуляр скрещивающихся прямых?
- Как найти расстояние от точки до плоскости методом объёмов?