§18. Пирамида

Базовый уровеньГлава 3. Многогранники

Пирамида, правильная пирамида, апофема, площадь поверхности.

Пирамида

Многогранник, составленный из $n$-угольника $A_1A_2\ldots A_n$ и $n$ треугольников с общей вершиной $P$, называется $n$-угольной пирамидой. Перпендикуляр из вершины к плоскости основания — высота.

Правильная пирамида

Пирамида правильная, если её основание — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину с центром основания, является высотой.

Боковые рёбра правильной пирамиды равны, боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
Высота боковой грани, проведённая из вершины, — апофема.

SO — высота, SK — апофема, OK — радиус вписанной окружности основания — $SO$ — высота, $SK$ — апофема, $OK$ — радиус вписанной окружности основания

Площадь поверхности

$$S_{\text{бок}} = \frac12 P_{\text{осн}} \cdot l,$$

где $l$ — апофема. Полная поверхность — боковая плюс основание.

Полезные прямоугольные треугольники

$SOK$: $SK^2 = SO^2 + OK^2$ (высота, апофема, радиус вписанной окружности);
$SOA$: $SA^2 = SO^2 + OA^2$ (высота, ребро, радиус описанной окружности).

Вопросы для самопроверки

Какая пирамида называется правильной?
Докажите формулу боковой поверхности правильной пирамиды.