§20. Правильные многогранники. Симметрия
Базовый уровеньГлава 3. Многогранники
Пять правильных многогранников, теорема Эйлера, элементы симметрии.
Правильный многогранник
Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер.
Их ровно пять
| Многогранник | Грани | $В$ | $Р$ | $Г$ |
|---|---|---|---|---|
| тетраэдр | треугольники | 4 | 6 | 4 |
| куб (гексаэдр) | квадраты | 8 | 12 | 6 |
| октаэдр | треугольники | 6 | 12 | 8 |
| додекаэдр | пятиугольники | 20 | 30 | 12 |
| икосаэдр | треугольники | 12 | 30 | 20 |
Больше не бывает: сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника меньше $360^\circ$, поэтому при вершине может сходиться 3, 4 или 5 треугольников, 3 квадрата или 3 пятиугольника.
Теорема Эйлера
Для любого выпуклого многогранника
$$В - Р + Г = 2$$
Симметрия
Точки $A$ и $A_1$ симметричны относительно точки $O$ (прямой $a$, плоскости $\alpha$), если $O$ — середина $AA_1$ (прямая $a$ или плоскость $\alpha$ перпендикулярна $AA_1$ и проходит через его середину). У куба 1 центр симметрии, 9 осей и 9 плоскостей симметрии.
Вопросы для самопроверки
- Какой многогранник называется правильным?
- Почему не существует правильного многогранника с шестиугольными гранями?