§22. Компланарные векторы

Базовый уровеньГлава 4. Векторы в пространстве

Компланарные векторы, разложение вектора по трём некомпланарным.

Компланарные векторы

Векторы называются компланарными, если при откладывании от одной точки они лежат в одной плоскости. Любые два вектора компланарны. Признак. Если $\vec c = x\vec a + y\vec b$, то векторы $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ компланарны.

Разложение по трём некомпланарным векторам

Любой вектор $\vec p$ можно разложить по трём некомпланарным векторам $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$, причём коэффициенты определяются единственным образом:

$$\vec p = x\vec a + y\vec b + z\vec c$$

\overrightarrow{AM} = \frac12\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}, где M — середина C_1D_1 — $\overrightarrow{AM} = \frac12\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}$, где $M$ — середина $C_1D_1$

Полезные формулы

середина отрезка: $\overrightarrow{OM} = \frac12\left(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\right)$;
точка пересечения медиан треугольника: $\overrightarrow{OG} = \frac13\left(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}\right)$.

Вопросы для самопроверки

Какие векторы называются компланарными?
Докажите единственность разложения вектора по трём некомпланарным.