§23. Координаты точки и вектора
Базовый уровеньГлава 5. Метод координат в пространстве
Прямоугольная система координат, координаты вектора, длина вектора, середина отрезка.
Система координат
Три попарно перпендикулярные оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ с общим началом и единицей длины образуют прямоугольную систему координат. Каждой точке $M$ соответствуют три числа $(x; y; z)$ — её координаты.
Координаты вектора
Разложение по единичным векторам $\vec i, \vec j, \vec k$: $\vec a = x\vec i + y\vec j + z\vec k$, записываем $\vec a\{x; y; z\}$.
- $\overrightarrow{AB} = \{x_B - x_A;\ y_B - y_A;\ z_B - z_A\}$;
- при сложении векторов координаты складываются, при умножении на число — умножаются.
Простейшие задачи
$$|\vec a| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},\qquad AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$$
$$M\left(\frac{x_A + x_B}{2};\ \frac{y_A + y_B}{2};\ \frac{z_A + z_B}{2}\right) \text{ — середина } AB$$
Вопросы для самопроверки
- Как найти координаты вектора по координатам его начала и конца?
- Выведите формулу расстояния между точками.