§24. Скалярное произведение векторов
Базовый уровеньГлава 5. Метод координат в пространстве
Угол между векторами, скалярное произведение, вычисление углов между прямыми и плоскостями.
Скалярное произведение
$$\vec a \cdot \vec b = |\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$$
- $\vec a \perp \vec b \iff \vec a \cdot \vec b = 0$;
- $\vec a \cdot \vec a = |\vec a|^2$.
Угол между векторами и прямыми
$$\cos\varphi = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$$
Для угла между прямыми берём модуль числителя (угол не больше $90^\circ$).
Угол между прямой и плоскостью
Если $\vec n$ — вектор, перпендикулярный плоскости (вектор нормали), а $\vec p$ — направляющий вектор прямой, то
$$\sin\varphi = \frac{|\vec p \cdot \vec n|}{|\vec p|\,|\vec n|}$$
Важно. Координатный метод особенно удобен в кубе и прямоугольном параллелепипеде: все координаты вершин записываются сразу.
Вопросы для самопроверки
- Как выражается скалярное произведение через координаты?
- Как с его помощью проверить перпендикулярность векторов?