§25. Уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
Углублённый уровеньГлава 5. Метод координат в пространстве
Уравнение плоскости, вектор нормали, расстояние от точки до плоскости, угол между плоскостями.
Уравнение плоскости
Любая плоскость задаётся уравнением
$$ax + by + cz + d = 0,$$
где вектор $\vec n\{a; b; c\}$ перпендикулярен плоскости (вектор нормали). Плоскость, проходящая через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ с нормалью $\vec n$: $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$.
- Уравнение «в отрезках»: плоскость, отсекающая на осях отрезки $p, q, r$: $\dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} + \dfrac{z}{r} = 1$.
Расстояние от точки до плоскости
$$\rho = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$
Угол между плоскостями
$$\cos\varphi = \frac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|}$$
Вопросы для самопроверки
- Что такое вектор нормали?
- Как составить уравнение плоскости по трём точкам?