§31. Вписанные и описанные сферы

Описанная сфера

Сфера описана около многогранника, если все его вершины лежат на сфере. Центр — точка, равноудалённая от всех вершин.

• около прямоугольного параллелепипеда: центр — точка пересечения диагоналей, $R = \dfrac d2 = \dfrac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2}$;
• около куба: $R = \dfrac{a\sqrt3}{2}$;
• около правильной пирамиды: центр на высоте, $R = \dfrac{b^2}{2h}$ ($b$ — боковое ребро, $h$ — высота).

Вписанная сфера

Сфера вписана в многогранник, если она касается всех его граней.

• в куб: $r = \dfrac a2$;
• в любой многогранник, в который можно вписать сферу: $V = \dfrac13 S_{\text{полн}} \cdot r$.

Цилиндр и конус

• Сфера, вписанная в цилиндр, существует, если $h = 2r$ (осевое сечение — квадрат).
• Радиус сферы, вписанной в конус, равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение.

Вопросы для самопроверки

1. Где лежит центр сферы, описанной около правильной пирамиды?
2. Выведите формулу $V = \frac13 S r$.