§33. Объём пирамиды

Базовый уровеньГлава 7. Объёмы тел

Объём пирамиды и усечённой пирамиды, отношение объёмов.

Объём пирамиды

$$V = \frac13 S_{\text{осн}} \cdot h$$

Треугольную призму можно разрезать на три пирамиды равного объёма — отсюда множитель $\frac13$.

$$V = \frac13 h\left(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2\right)$$

Пирамиды с равными высотами относятся как площади оснований; с общим основанием — как высоты.
Если плоскость, параллельная основанию, отсекает пирамиду, подобную исходной с коэффициентом $k$, то отношение объёмов равно $k^3$.
Если на рёбрах $SA$, $SB$, $SC$ тетраэдра взяты точки $A_1$, $B_1$, $C_1$, то $\dfrac{V_{SA_1B_1C_1}}{V_{SABC}} = \dfrac{SA_1}{SA}\cdot\dfrac{SB_1}{SB}\cdot\dfrac{SC_1}{SC}$.

Как доказать формулу объёма треугольной пирамиды?
Во сколько раз уменьшится объём пирамиды, если отрезать от вершины подобную с коэффициентом $\frac12$?