Производная: правила и таблица
ЕГЭ профильФункции и анализ
Таблица производных, правила дифференцирования, производная сложной функции.
Таблица производных
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|
| $C$ | $0$ |
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ |
| $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^x \ln a$ |
| $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\operatorname{tg} x$ | $\frac{1}{\cos^2 x}$ |
Правила
$$(u \pm v)' = u' \pm v', \quad (Cu)' = Cu', \quad (uv)' = u'v + uv', \quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$
Сложная функция: $\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Например, $(\sin 3x)' = 3\cos 3x$, $(e^{2x+1})' = 2e^{2x+1}$.
Первообразная
$F$ — первообразная для $f$, если $F'(x) = f(x)$. Площадь под графиком положительной функции на $[a; b]$: $S = F(b) - F(a)$.