Тригонометрические уравнения
ЕГЭ профильТригонометрия
Простейшие уравнения, сведение к квадратному, отбор корней на отрезке.
Простейшие уравнения
| Уравнение | Решение |
|---|---|
| $\sin x = a$, $\lvert a \rvert \le 1$ | $x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$ |
| $\cos x = a$, $\lvert a \rvert \le 1$ | $x = \pm \arccos a + 2\pi n$ |
| $\operatorname{tg} x = a$ | $x = \operatorname{arctg} a + \pi n$ |
Частные случаи: $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$; $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$; $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$; $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n$ ($n \in \mathbb{Z}$).
Основные приёмы
- Замена: $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$, $t = \sin x$, $|t| \le 1$.
- Разложение на множители: вынести общий множитель, приравнять каждый множитель нулю.
- Однородные: $a\sin x + b\cos x = 0$ — делим на $\cos x$ (проверив, что $\cos x = 0$ не даёт решений).
- Используйте основное тождество и формулы двойного угла, чтобы оставить одну функцию.
Отбор корней (пункт б)
- Удобно по единичной окружности: отметьте дугу отрезка и точки серий.
- Или двойным неравенством: $a \le \frac{\pi}{6} + 2\pi n \le b$, найдите целые $n$.
Важно. В ответе пункта а) пишите все серии с «$n \in \mathbb{Z}$». Не теряйте корни при делении на выражение с переменной.