Производная: смысл, экстремумы, чтение графиков
ЕГЭ профильФункции и анализ
Геометрический и физический смысл, монотонность, точки экстремума, наибольшее и наименьшее значения, задачи по графикам f и f′.
Геометрический смысл
$f'(x_0) = k = \operatorname{tg}\alpha$ — угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ ($\alpha$ — угол наклона касательной к оси $Ox$). Касательная: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
- По рисунку: найдите на касательной две точки в узлах сетки, $k = \frac{\Delta y}{\Delta x}$; если касательная убывает, $k < 0$.
- Касательная параллельна прямой $y = kx + b$ там, где $f'(x) = k$.
Физический смысл
Скорость — производная координаты: $v(t) = x'(t)$, ускорение $a(t) = v'(t)$.
Монотонность и экстремумы
- $f' > 0$ на промежутке — $f$ возрастает; $f' < 0$ — убывает.
- Точка максимума: $f'$ меняет знак с «+» на «−»; минимума — с «−» на «+».
- В точках экстремума гладкой функции $f'(x) = 0$ (касательная горизонтальна).
Графики: что на картинке?
| Дан график $f(x)$ | Дан график $f'(x)$ |
|---|---|
| $f' > 0$ там, где график идёт вверх | $f' > 0$ там, где график выше оси $Ox$ |
| $f' = 0$ — вершины «горок» и «впадин» | экстремумы $f$ — точки пересечения с $Ox$ со сменой знака |
| точки экстремума видны как вершины | $f$ возрастает, где график $f'$ выше оси |
Наибольшее и наименьшее значение на отрезке
- Найдите $f'(x)$ и её нули внутри отрезка.
- Вычислите $f$ в этих точках и на концах отрезка.
- Выберите наибольшее (наименьшее) из чисел.
Важно. Не путайте графики: вопрос про $f$, а нарисована $f'$ — это самая частая ловушка задания №8.