Экономические задачи (кредиты и вклады)
ЕГЭ профильПрактика
Аннуитетные и дифференцированные платежи, вклады, оптимизация.
Обозначения
Сумма кредита $S$, ставка $r\%$ в год, множитель $k = 1 + \frac{r}{100}$, платёж $x$.
Равные платежи (аннуитет)
После начисления процентов долг умножается на $k$, после платежа уменьшается на $x$. Через $n$ лет долг равен нулю:
$$S k^n = x(k^{n-1} + k^{n-2} + \dots + 1) = x \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}$$
Для двух лет: $Sk^2 = xk + x$.
Дифференцированные платежи
Долг уменьшается равномерно: каждый год на $\frac{S}{n}$. Платёж = проценты на текущий долг + $\frac{S}{n}$. Общая сумма выплат:
$$\text{Выплаты} = S + \frac{r}{100} \cdot \frac{S}{n} (n + (n - 1) + \dots + 1) = S + \frac{r}{100} \cdot S \cdot \frac{n + 1}{2}$$
Вклады
Без пополнений: $S_n = S k^n$. С ежегодным пополнением на $a$ — составьте цепочку по годам и сложите геометрическую прогрессию.
Оптимизация
Составьте функцию прибыли или затрат, найдите наибольшее (наименьшее) значение с помощью производной или вершины параболы; не забудьте, что ответ часто должен быть целым.
Важно. Внимательно читайте, когда начисляются проценты и когда вносится платёж: порядок меняет уравнение.