Задачи с параметром

Графический метод

1. Выразите параметр: $a = f(x)$ или приведите уравнение к виду $f(x) = g(x, a)$.
2. Постройте неподвижную часть (не зависящую от $a$) в плоскости $xOy$ или $xOa$.
3. Двигайте семейство прямых/окружностей/«уголков» и считайте точки пересечения.

• $y = kx + b$ с параметром в $b$ — параллельный перенос, в $k$ — поворот вокруг точки $(0; b)$.
• $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ — окружность с центром $(a; b)$ радиуса $R$.

Аналитический метод

• Квадратное уравнение: число корней по дискриминанту, расположение корней — через значения в точках, вершину и знак старшего коэффициента.
• Не забудьте случай, когда старший коэффициент равен нулю.

Полезные идеи

• Симметрия: если $x_0$ — решение, то и $-x_0$; единственность решения требует $x_0 = 0$.
• Монотонность: $f(u) = f(v) \Rightarrow u = v$ для строго монотонной $f$.