Степени и корни
ОГЭ, ЕГЭ база, ЕГЭ профильЧисла и вычисления
Свойства степеней с целым и рациональным показателем, арифметический корень.
Свойства степеней
| Правило | Пример |
|---|---|
| $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ | $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ |
| $a^m : a^n = a^{m-n}$ | $5^6 : 5^4 = 5^2$ |
| $(a^m)^n = a^{mn}$ | $(3^2)^3 = 3^6$ |
| $(ab)^n = a^n b^n$ | $(2x)^3 = 8x^3$ |
| $a^0 = 1$, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ | $2^{-3} = \frac{1}{8}$ |
| $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ | $8^{\frac{2}{3}} = 4$ |
Корни
- $\sqrt{a}$ — неотрицательное число, квадрат которого равен $a$ (при $a \ge 0$).
- $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$, $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ при $a \ge 0$, $b > 0$.
- $\sqrt{a^2} = |a|$ — модуль обязателен!
- Внесение и вынесение множителя: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.
- Избавление от иррациональности: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{5 - 4} = \sqrt{5} + 2$.
Сравнение чисел
Чтобы сравнить $3\sqrt{2}$ и $2\sqrt{3}$, внесите множители под корень: $\sqrt{18}$ и $\sqrt{12}$ — первое больше.
Важно. $\sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$ и $(a + b)^2 \ne a^2 + b^2$ — самые частые ошибки.