Арифметическая и геометрическая прогрессии
ОГЭ, ЕГЭ база, ЕГЭ профильАлгебра
Формулы n-го члена и суммы, характеристические свойства.
Арифметическая прогрессия
Каждый член больше предыдущего на разность $d$.
$$a_n = a_1 + (n - 1)d, \qquad S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n$$
- Свойство: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$.
- Разность: $d = a_{n+1} - a_n = \frac{a_m - a_k}{m - k}$.
Геометрическая прогрессия
Каждый член получается умножением предыдущего на знаменатель $q \ne 0$.
$$b_n = b_1 q^{n - 1}, \qquad S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}\ (q \ne 1)$$
- Свойство: $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$.
- Бесконечно убывающая ($|q| < 1$): $S = \frac{b_1}{1 - q}$.
Как узнать в задаче
«Каждый день на 3 больше» — арифметическая; «каждый час в 2 раза больше» — геометрическая.
Важно. Номер члена и количество членов — разные вещи: с 5-го по 12-й член включительно — это 8 членов.