Треугольник: элементы и площадь
ОГЭ, ЕГЭ база, ЕГЭ профильГеометрия
Медиана, биссектриса, высота, средняя линия, формулы площади, теоремы синусов и косинусов.
Замечательные линии
- Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $2 : 1$, считая от вершины.
- Биссектриса делит угол пополам и делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: $\frac{AL}{LC} = \frac{AB}{BC}$.
- Высота — перпендикуляр из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону.
- Средняя линия соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине.
Площадь
$$S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} ab \sin C = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = pr = \frac{abc}{4R}$$
где $p$ — полупериметр, $r$ и $R$ — радиусы вписанной и описанной окружностей.
Теоремы синусов и косинусов
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R, \qquad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$
Важно. Теорема косинусов при $C = 90°$ превращается в теорему Пифагора.